Úloha 1
Pred tromi rokmi bol vek Punťovej mamy trikrát väčší ako vek Punťa. Teraz je vek Punťovho otca trikrát väčší ako Punťov. Aký je rozdiel veku Punťových rodičov?
Riešenie: Výsledok: 6
Označme x súčasný Punťov vek. Potom terajší vek Punťovej mamy je 3(x − 3) + 3 = 3x − 6 a terajší vek jeho otca 3x. Rozdiel teda činí 6 rokov.
Štatistiky: 00:11:04 priemerný čas riešenia
Úloha 2
Koľko trojuholníkov je na obrázku?
Riešenie: Výsledok: 30
Všetky trojuholníky na obrázku majú v najvyššom bode spoločný vrchol. Ďalej, jedna strana každého trojuholníka musí ležať na jednej z dvoch rovnobežných čiar. Každý trojuholník je teda určený výberom jednej z dvoch horizontálnych čiar a dvoma rôznymi bodmi na tejto čiare. Keďže na každej horizontálnej čiare je po šesť bodov, dokopy máme 2 ⋅( 6 2) = 2 ⋅6 ⋅ 5 1 ⋅ 2 = 30.
Štatistiky: 00:11:34 priemerný čas riešenia
Úloha 3
Bod E leží vnútri štvorca ABCD tak, že ABE je rovnostranný trojuholník. Aká je veľkosť uhla DCE v stupňoch?
Riešenie: Výsledok: 15
Keďže v rovnostrannom trojuholníku má každý uhol veľkosť 60∘, máme |∢CBE| = 90∘−|∢EBA| = 30∘. Keďže |EB| = |AB| = |BC|, trojuholník CBE je rovnoramenný a teda |∢ECB| = |∢BEC| = 1 2(180∘−|∢CBE|) = 75∘. Napokon určíme veľkosť uhla |∢DCE| = 90∘−|∢ECB| = 15∘.
Štatistiky: 00:18:26 priemerný čas riešenia
Úloha 4
Trpaslík Mojo schováva veľký poklad v tmavej miestnosti, obsahujúci niekoľko označených mincí. Mince majú následovné označenie: jedna minca má označenie 1, dve mince označenie 2, …, osemnásť mincí má označenie 18 a devätnásť mincí 19. Mojo vyberá mincu po minci bez toho, aby bol schopný prečítať ich nápis. Aké je minimálne množstvo mincí, ktoré musí vybrať, aby si Mojo bol istý, že vybral aspoň desať mincí s rovnakým značením?
Riešenie: Výsledok: 136
Ak by Mojo vybral všetky mince, ktorých je menej ako 10 a po deväť mincí z každej, ktorých je aspoň desať, tak by zobral celkovo (1 + 2 + ⋯ + 9) + 9 ⋅ 10 = 135 mincí. Preto 135 mincí stačiť nebude. Avšak ak Mojo zoberie 136 mincí tak aspoň 91 mincí musí mať označenie väčšie ako 9. Je zrejmé, že jedna z desiatich hodnôt mincí je zastúpená aspoň 10 krát. Preto je minimum 136.
Štatistiky: 00:22:07 priemerný čas riešenia
Úloha 5
Marek kúpil veľkú škatuľu jeho obľúbených cukríkov na Halloween, aby ich rozdal deťom. Avšak nakoľko sú to jeho obľúbené cukríky, tak zjedol polovicu ešte pred tým, ako prišlo prvé dieťa. Prvé dieťa si zobralo niekoľko cukríkov a odišlo. Potom Marek zjedol polovicu z toho, čo ostalo, kým prišlo druhé dieťa. To si tiež zobralo niekoľko cukríkov a odišlo. No a Marek zase zjedol polovicu zostávajúcich cukríkov. Potom prišlo tretie dieťa a zobralo zvyšné cukríky. Ak každé dieťa zobralo presne tri cukríky, koľko cukríkov mal Marek pôvodne?
Riešenie: Výsledok: 42
Ak n je počet cukríkov v originálnom balení tak môžme zapísať rozdávanie cukríkov následovne ((n 2 − 3) ⋅1 2 − 3) ⋅1 2 − 3 = 0. Vyriešením dostaneme n = 42.
Štatistiky: 00:12:31 priemerný čas riešenia
Úloha 6
Majme štvoruholník ABCD s pravými uhlami pri vrcholoch A a C. Ďalej poznáme dĺžky týchto strán: |BC| = 6, |CD| = 8 a |DA| = 2. Aký je obsah štvoruholníka ABCD?
Riešenie: Výsledok: 24 + 46
Štvoruholník si rozdelímu uhlopriečkou BD na dva pravouhlé trojuholníky. z Pytagorovej vety v trojuholníku BCD dostávame, že |BD| = 62 + 83 = 10. Podobne z Pytagorovej vety v trojuholníku ABD máme, že |AB| = |BD|2 − |AD|2 = 102 − 22 = 96 = 46. Obsah štvoruholníka vypočítame ako súčet obsahov trojuholníkov BCD a ABD a teda 1 2(6 ⋅ 8) + 1 2(2 ⋅ 46) = 24 + 46.
Štatistiky: 00:22:21 priemerný čas riešenia
Úloha 7
Kancelárska tlačiareň vie tlačiť buď na jednu, alebo na obe strany papiera. Jednostranné tlačenie trvá tri sekundy na stranu, kým obojstranné trvá deväť sekúnd na list papiera. Katka chce vytlačiť článok dlhý osemnásť strán. Môže ho buď vytlačiť celý obojstranne, alebo vytlačiť nepárne strany, vložiť papiere späť do tlačiarne a vytlačiť párne strany. Rýchlo si uvedomila, že oba prístupy zaberú rovnako veľa času. Koľko sekúnd Katke zaberie vloženie strán naspäť do tlačiarne?
Riešenie: Výsledok: 27
Katka chce tlačiť na deväť listov papiera. Obojstranná tlač zaberie 9 ⋅ 9 = 81 sekúnd. To je teda aj celkový čas jednostranného tlačenia spolu s vkladaním papiera späť do tlačiarne. Iba jednostranné tlačenie zaberie 2 ⋅ 3 ⋅ 9 = 54 sekúnd, teda na vkladanie Katka potrebuje 81 − 54 = 27 sekúnd.
Štatistiky: 00:11:49 priemerný čas riešenia
Úloha 8
Nájdite všetky 9-ciferné čísla N spĺňajúce nasledujúce podmienky:
- N obsahuje každú cifru 1,…,9 práve raz.
- Každé dvojciferné číslo tvorené dvomi po sebe idúcimi ciframi N je deliteľné 7 alebo 13.
Riešenie: Výsledok: 784913526
Usporiadajme cifry 1,…9 do diagramu, kde šípka z x do y znamená, že dvojciferné číslo xy¯ je deliteľné 7 alebo 13. Plná šípka reprezentuje deliteľnosť 7, čiarkovaná deliteľnosť 13 a bodkočiarkovaná (iba jedna, z 9 do 1) deliteľnosť 7 aj 13. Z diagramu je ľahko viditeľné, že začínajúcim číslom musí byť 7 nasledovaná 8 a 4. Ak po 4 nasleduje 9, musia byť ďalšími ciframi 1, 3 a 5 a posledné dve cifry musia (a môžu) byť 2 a 6. Práve sme poskladali riešenie 784913526. Ak po 4 nenasleduje 9 ale 2, po 7842 máme na výber dve možnosti. Buď pokračujeme 1 a následne 3, čo nás dovedie do slepej uličky, lebo už nemáme možnosť použiť naraz cifry 5 aj 9. Alebo pokračujeme 6 a natrafíme na rovnaký problém po sérii 784263 (alebo sa zamotáme už pri 784265). Riešenie je preto iba jedno.
Štatistiky: 00:46:03 priemerný čas riešenia
Úloha 9
Vo vnútri väčšieho štvorca sú uložené dva menšie štvorce tak, ako je na obrázku. Nájdite obsah štvorca A, ak obsah štvorca B je 48.
Riešenie: Výsledok: 54
Keďže trojuholníky priľahlé ku stranám štvorca B sú rovnoramenné, tak strana štvorca B ležiaca na uhlopriečke je presne tretina tejto uhlopriečky. Teda, ak si označíme stranu veľkého štvorca ako s, tak strana štvorca B je 1 3 ⋅2 ⋅ s a strana štvorca A je 1 2 ⋅ s. z toho vyjadríme pomer obsahov vnútorných štvorcov akoObsah štvorca A je 48 ⋅9 8 = 54.
Štatistiky: 00:19:47 priemerný čas riešenia
Úloha 10
Kika má dve kocky. Prvá má hranu dĺžky 9cm a skladá sa z bielych kociek s hranou dĺžky 1cm. Druhá má hranu dĺžky 10cm a skladá sa z čiernych kociek s hranou 1cm. Kika rozložila obe kocky a poskladala z malých kociek veľkú kocku s hranou 12cm. Najmenej koľko cm2 povrchu tejto novej kocky musí byť čiernych?
Riešenie: Výsledok: 0
Kika má 93 = 729 malých bielych kociek a 103 = 1000 čiernych. Na poskladanie kocky s hranou dlhou 12cm potrebuje 123 = 1728 malých kociek, pričom 103 = 1000 z nich je vnútri a ostatné majú aspoň 1 stenou na povrchu veľkej kocky. Týchto vonkajších kociek je 123 − 103 = 1728 − 1000 = 728, čo je menej ako počet malých bielych kociek. Máme preto dosť malých bielych kociek na poskladanie povrchu veľkej kocky so stranou 12cm a vieme ho spraviť celý bielu. Výsledok je teda 0.
Štatistiky: 00:26:27 priemerný čas riešenia
Úloha 11
Učiteľ ohodnotil písomky z matematiky a zistil, že presne desať jeho žiakov nevie násobiť zlomky, štrnásť z nich nevie zlomky sčítavať a sedemnásť nedokáže odstrániť odmocninu z menovateľa. Ukázalo sa, že každý zo študentov neovláda aspoň jednu z týchto troch operácií a presne šiesti neovládajú ani jednu z týchto operácií. Koľko najviac študentov má učiteľ v triede?
Riešenie: Výsledok: 29
Aby sme zistili presný počet študentov v triede, potrebujeme ešte informáciu o počte žiakov, ktorí neovládajú presne dve z týchto operácií pre každú dvojicu z troch operácií dokopy. Avšak, je pomerne zrejmé, že maximálny počet žiakov dosiahneme, ak nebudeme mať žiakov, ktorí neovládajú presne dve operácie. V tom prípade je počet študentov 10 + 14 + 17 − 2 ⋅ 6 = 29. Musíme dvakrát odčítať počet študentov bez všetkých operácií, keďže pri spočítavaní všetkých troch skupín sme ich zarátali trikrát.
Štatistiky: 00:10:47 priemerný čas riešenia
Úloha 12
Jeden z uhlov pravouhlého trojuholníka má veľkosť 23∘. Nájdi veľkosť uhla (v stupňoch) medzi ťažnicou a výškou, ktoré vychádzajú z pravého uhla trojuholníka.
Riešenie: Výsledok: 44
Označme si pravouhlý trojuholník ako ABC s pravým uhlom pri vrchole A. Spojme bod A so stredom M strany BC, čím dostaneme ťažnicu. Ďalej pridajme výšku z vrchola A s pätou výšky H. Z Tálesovej vety vieme, že vrcholy trojuholníka ABC, ležia na kružnici so stredom M. Bez ujmy na všeobecnosti, nech |∢CBA| = 23∘. Nakoľko je trojuholník ABM rovnoramenný, tak aj |∢BAM| = 23∘. Taktiež, trojuholník AHC je podobný trojuholníku BAC podľa vety uu. Z toho dostávame, že |∢HAC| = 23∘. Nakoniec dopočítame, že |∢MAH| = 90∘− 2 ⋅ 23∘ = 44∘, čo je uhol, ktorý sme potrebovali zistiť.
Štatistiky: 00:25:40 priemerný čas riešenia
Úloha 13
Kladné celé čísla a a b spĺňajú rovnosť 20a + 19b = 365. Nájdite hodnotu výrazu 20b + 19a.
Riešenie: Výsledok: 376
Zjavne a,b ≤ 20. Pričítaním b k obom stranám uvedenej rovnosti dostaneme 20(a + b) = 365 + b. Ľavá strana je deliteľná 20, takže pravá tiež. Jediné riešenie je b = 15 a pravá strana má hodnotu 380. Z rovnosti dopočítame a = 4 a hľadaným číslom je 20b + 19a = 376.
Štatistiky: 00:18:06 priemerný čas riešenia
Úloha 14
Pravidelný mnohouholník, ktorý má 2018 vrcholov, má 2033135 uhlopriečok. O koľko viac uhlopriečok je v pravidelnom mnohouholníku s 2019 vrcholmi?
Poznámka: Strany mnohouholníka nerátame medzi uhlopriečky.
Riešenie: Výsledok: 2017
Pravidelnosť mnohouholníkov tu nehrá žiadnu rolu. Môžeme si predstaviť, že 2019-uholník je možné vyrobiť z 2018-uholníka tým, že nejakú stranu rozdelíme novým vrcholom. Tento nový vrchol vytvára 2016 nových uhlopriečok s 2016 jeho nesusediacimi vrcholmi. Okrem toho, jedna nová uhlopriečka vznikne spojením susedov nového vrchola. Takže počet uhlopriečok celokm narastie o 2017.
Štatistiky: 00:20:07 priemerný čas riešenia
Úloha 15
Nájdite všetky reálne korene rovnice (x2 − 4x + 5)x2+x−30 = 1.
Riešenie: Výsledok: 2, 5, − 6
Keďže x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 ≥ 1 tak základ je vždy kladné reálne číslo. Rovnica je splnená práve vtedy, keď je základ 1 alebo exponent je 0. V prvom prípade, x2 − 4x + 5 = 1 sa dá inak zapísať ako (x − 2)2 = 0, čoho riešenie je len x = 2. V druhom prípade, x2 + x − 30 = (x − 5)(x + 6) = 0 má dve riešenia x = 5 a x = −6. Dokopy má teda táto rovnica tri riešenia.
Štatistiky: 00:20:27 priemerný čas riešenia
Úloha 16
Koľko existuje takých permutácií čísel 1, 2, 3, 4, že ak vymažeme ktorékoľvek z nich, vzniknutá postupnosť čísel nie je ani rastúca, ani klesajúca?
Poznámka: Permutácia je postupnosť obsahujúca každé zadané číslo práve raz.
Riešenie: Výsledok: 4
Povedzme, že 1 je prvé číslo. Aby platila podmienka, že postupnosť nie je rastúca, permutácia by musela byť (1,4,3,2). Vymazanie 1 by ale vytvorilo klesajúcu postupnosť, a to by už nespĺňalo zadanie úlohy. Z toho vyplýva, že 1 nesmie byť prvá a podľa symetrie ani posledná. Podobne, 4 nesmie byť ani prvé, ani posledné číslo. To znamená, že 4 a 1 musia byť v strede, buď v poradí (1,4), alebo (4,1). Potom nám ešte ostali dve čísla 2 a 3, ktoré môžu byť na začiatku alebo na konci. Dostávame tieto štyri permutácie: (2,1,4,3),(3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2).
Štatistiky: 00:27:06 priemerný čas riešenia
Úloha 17
Nech ABCD je obdĺžnik so stranami |AB| = 8cm a |BC| = 6cm. Ďalej nech X a Y sú postupne priesečníky osi uhlopriečky AC so stranami AB a CD. Aká je dĺžka úsečky XY (v centimetroch)?
Riešenie: Výsledok: 15 2
Z Pytagorovej vety dostaneme, že |AC| = |AB|2 + |BC|2 = 82 + 62 = 10. Označme si S priesečník uhlopriečky AC a jej osi. S je zjavne stred uhlopriečky, teda |AS| = 5. Keďže |∢CAB| = |∢SAX| a |∢XSA| = |∢CBA| = 90∘, tak trojuholníky ASX a ABC sú podobné s pomerom podobnosti |SX| : |AS| = |BC| : |AB|, z čoho máme SX = |BC|⋅|AS| |AB| = 15 4 . Nakoniec dopočítame dĺžku, ktorú potrebujeme zistiť: |XY | = 2 ⋅|SX| = 15 2 .
Štatistiky: 00:26:08 priemerný čas riešenia
Úloha 18
Každé z písmen E,F,I,N,O,R,U,V reprezentuje nejakú cifru od 0 po 9 a žiadne dve písmená nereprezentujú rovnakú cifru. Z týchto cifier je poskladaná rovnica FOUR + FIV E = NINE. Ďalej ešte platí:
- FOUR je deliteľné štyrmi,
- FIV E je deliteľné piatimi,
- NINE je deliteľné tromi.
Nájdite všetky štvorciferné čísla, ktoré môže reprezentovať NINE.
Riešenie: Výsledok: 3435
Na prvý pohľad vidno, že R = 0, keďže na konci slov FIV E a NINE je rovnaká cifra. Jedine výber R = 0 ju pri súčte nezmení. Keďže FIV E je deliteľné 5 musí byť E buď 0 alebo 5. Keďže 0 je už použitá, vieme že E = 5. Pozrime sa na cifry na mieste stoviek. Dve z nich sú I a sú na opačných stranách rovnice. Nula je už obsadená, takže jediný spôsob ako dosiahnuť rovnosť je, že O = 9 a k súčtu dostaneme extra jednotku zo súčtu cifier na mieste desiatok, teda U + V ≥ 10. Navyše takto dostaneme do súčtu cifier na mieste tisícok extra jednotku, takže N musí byť nepárne a väčšie ako 1. Na druhej strane U + V ≤ 15, lebo cifra 9 už je obsadená. Aj cifra 5 už je obsadená, takže N = 3. Ľahko dopočítame, že U = 6 (pomôžeme si deliteľnosťou 4), V = 7 a F = 1. Keďže NINE je deliteľné 3, ciferný súčet N + I + N + E = 3 + I + 3 + 5 = 11 + I musí byť tak isto deliteľný 3. Ostala nám už iba jediná vhodná cifra a tou je 4. Riešenie je tak FOUR = 1960, FIV E = 1475 a NINE = 3435. Rovnica potom vyzerá takto: 1960 + 1475 = 3435.
Štatistiky: 00:47:31 priemerný čas riešenia
Úloha 19
Ak je obvod štvorca na obrázku 4, aký je obvod väčšieho rovnostranného trojuholníka na obrázku?
Riešenie: Výsledok: 3 + 3
Najprv si uvedomme, že dva pravouhlé trojuholníky ktoré majú vnútorné uhly 30∘, 60∘, a 90∘ sú zhodné, keďže oba majú dlhšiu odvesnu zhodnú so stranou štvorca dĺžky 1. Takýto pravouhlý trojuholník tvorí polovicu rovnostranného trojuholníka, pričom prepona pravouhlého trojuholníka a strana rovnostranného trojuholníka sa zhodujú. Ak si označíme kratšiu odvesnu ako x, tak prepona je dĺžky 2x a máme z Pytagorovej vety: (2x)2 = x2 + 12. Z toho vypočítame x = 1 33. Preto je strana rovnostranného trojuholníka dlhá 1 + 1 33 a obvod je 3 + 3.
Štatistiky: 00:24:36 priemerný čas riešenia
Úloha 20
Nech a, b sú reálne čísla. Ak viete, že x3 − ax2 + 588x − b = 0 má trojnásobný reálny koreň, aké hodnoty môže nadobúdať a?
Riešenie: Výsledok: 42, − 42
Ak k je trojnásobným koreňom, tak (x − k)3 = x3 − 3kx2 + 3k2x − k3 = x3 − ax2 + 588x − b. Porovnaním koeficientov pri mocnine x1 dostaneme 3k2 = 588, teda k = ±14. Preto a = 3k = ±42.
Štatistiky: 00:26:45 priemerný čas riešenia
Úloha 21
Mišo je na výlete po lietajúcich ostrovoch, ktoré sú pospájané mostami ako na diagrame. Každý most ponúka unikátny výhľad, preto chce Mišo prejsť po každom moste. Za prejdenie mosta sa platí poplatok, takže chce prejsť každým mostom práve raz. Koľkými spôsobmi si môže naplánovať cestu, ak začína na ostrove označenom štvorcom? Každý ostrov môže navštíviť koľkokrát chce, ale nemôže prechádzať z mosta na most mimo ostrovov.
Riešenie: Výsledok: 120
Nazvime štartovný ostrov a ostrov vpravo v strede veľký. Každý most spája jeden veľký a jeden malý ostrov. Malé ostrovy majú po dva mosty, do každého veľkého ostrova jeden. Pri prechádzaní po mostoch tak vždy ideme z jedného veľkého ostrova do druhého cez nejaký malý ostrov. Možností ako prejsť všetkými mostami je toľko, koľko je poradí v akých sa dá prejsť m...
tags:
