Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov. Systémy sa zameriavajú hlavne na ich precvičovanie.
Priestorová predstavivosť a zakresľovanie telies
Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete. Nárys, bokorys a pôdorys sa používajú k dvojrozmernému zakresleniu trojrozmerného objektu pomocou pravouhlého premietania. Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi.
Geometrické pojmy
Na rozdiel od bežného jazyka, kde majú slová väčšinou niekoľko významov, v matematike používame pojmy s presne definovaným významom. To je veľmi užitočné, pretože sa vďaka tomu môžeme vyjadrovať stručne a pritom jednoznačne. Pozn. Presné definície rovnoramenného trojuholníka sa líšia: niektorí autori vyžadujú „aspoň“ dve strany zhodné, iní „presne“ dve strany zhodné.
Rovinné útvary
Rovinné útvary sú množiny bodov v rovine, ide teda o dvojrozmerné útvary. Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A. Konštrukčné úlohy s trojuholníkmi (narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napr.
Pytagorova veta
Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami. Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}.
- Štvorec a obdĺžnik patrí medzi štvoruholníky.
- Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.
- Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán.
- Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r.
Priestorové útvary
Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary. Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac). Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky.
Hranol a Ihlan
Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca.
Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Objem ihlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov. Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot S_p + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy).
- Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa.
- Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou.
Obsah a obvod
Obsah značíme S. Obsah vyjadruje, koľko „miesta v rovine“ útvar zaberá. Obvod značíme o. Obvod je súčet dĺžok čiar, ktoré útvar vymedzujú. Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metra. Trojuholník ABC: Dĺžka strany \left| AB \right| je 2. Trojuholník GHI: Dĺžka strany \left| GH \right| je 1. Veľkosť k nej príslušnej výšky v_i je 2. Trojuholník JKL: Dĺžka strany \left| JK \right| je 4.
Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2.
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa. Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca. Platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca.
- Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
- Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.
- Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}.
- Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}.
Platí S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy valca a S_{pl} obsah plášťa valca. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot S_p+S_{pl}. Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s. Potom si stranu môžeme dopočítať ako preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkami v a r. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2\pi r.
Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Uhly
Uhol je časť roviny vymedzená dvomi polpriamkami. Veľkosť uhla meriame najčastejšie v stupňoch, pričom plný uhol má veľkosť 360°. Pri práci s uhlami je prvý krok základné rozpoznávanie uhlov - potrebujeme získať základnú predstavu o uhloch a schopnosť odhadnúť veľkosť uhlu podľa obrázka.
- Plný uhol je 360°.
- Uhol s vrcholom B tvorí s uhlom s veľkosťou 30° dvojicu vrcholových uhlov.
Jeho veľkosť je teda 30°. Uhol pri vrchole A tvorí s uhlom s veľkosťou 100° dvojicu vedľajších uhlov. Jeho veľkosť je teda 180°-100°=80°. V rovnobežníku majú protiľahlé uhly rovnakú veľkosť, uhol ADC má teda veľkosť 115°. Uhol ADC tvorí s neznámym uhlom dvojicu vedľajších uhlov. Súčet vnútorných uhlov vo všeobecnom mnohouholníku s n stranami (teda n-uholníku) je 180^\circ\cdot(n-2). Napríklad v päťuholníku je súčet vnútorných uhlov 180^\circ(5-2)=540^\circ. Každý vnútorný uhol v pravidelnom mnohouholníku s n vrcholmi má veľkosť 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Veľkosť stredového uhla pravidelného n-uholníka je \frac{360^\circ}{n}. V pravidelnom šesťuholníku má každý uhol rovnakú veľkosť, a to 180^\circ\cdot\frac{6-2}{6}=120^\circ. Trojuholník ABC je rovnoramenný, uhly pri vrcholoch A a C sú potom zhodné. Uhol ABC má teda veľkosť 120^\circ.
Pre každé dva body na kružnici je možné určiť dva stredové uhly. Uhol s veľkosťou 55^\circ je úsekový uhol prináležiaci tetive AB. Vieme, že veľkosti úsekového a príslušného obvodového uhla sú rovnaké, teda 55^\circ. Neznámy uhol je stredový uhol prináležiaci menšiemu oblúku AB. Neznámy uhol je obvodovým uhlom nad menším oblúkom s koncovými bodmi 2 a 7. Určíme veľkosť príslušného stredového uhla. Pre pravidelný dvanásťuholník je teda uhol medzi spojnicami dvoch vedľajších vrcholov a stredu \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. Z kapitoly uhly a mnohouholníky vieme, že veľkosť stredového uhla pravidelného n-uholníka je \frac{360^\circ}{n}. Stredový uhol príslušný oblúku 2 a 7 je potom 5\cdot30^\circ=150^\circ.
tags:
